Mathematica v matematice - zajímavé úlohy řešené s podporou programu 

Miroslav Tichý
Střední škola a vyšší odborná škola aplikované kybernetiky
Hradec Králové
tichy@ssakhk.cz

Příklad 1 
Napište obecnou rovnici roviny určené body A, B, C.

bA={2,-1,0}; bB={-1,2,-3}; bC={-2,-3,1};

u=bB-bA

v=bC-bA

nρ=Cross[u,v]

ρ=Dot[nρ,{x,y,z}]-Dot[nρ,bA]

ContourPlot3D[ρ==0,{x,-3,3},{y,-3,3},{z,-3,3}]

Příklad 2
Napište obecnou rovnici roviny ρ dané parametricky.

ρpar={1-t+3s,7+2t-s,-3-t+s};

u={Coefficient[ρpar[[1]],t],Coefficient[ρpar[[2]],t],Coefficient[ρpar[[3]],t]}

v={Coefficient[ρpar[[1]],s],Coefficient[ρpar[[2]],s],Coefficient[ρpar[[3]],s]}

nρ=Cross[u,v]

bodt={Coefficient[ρpar[[1]],s,0],Coefficient[ρpar[[2]],s,0],Coefficient[ρpar[[3]],s,0]}

bod={Coefficient[bodt[[1]],t,0],Coefficient[bodt[[2]],t,0],Coefficient[bodt[[3]],t,0]}

ρ=Dot[nρ,{x,y,z}]-Dot[bod,nρ]

ContourPlot3D[ρ==0,{x,-3,3},{y,-3,3},{z,-3,3}]

Příklad 3 
Napište obecnou rovnici roviny určené bodem A a přímkou p.

bA={2,-3,1};p={t,2+3t,1-t};

u={Coefficient[p[[1]],t],Coefficient[p[[2]],t],Coefficient[p[[3]],t]}

bB={Coefficient[p[[1]],t,0],Coefficient[p[[2]],t,0],Coefficient[p[[3]],t,0]}

v=bB-bA

nρ=Cross[u,v]

ρ=Dot[nρ,{x,y,z}]-Dot[nρ,bA]

ContourPlot3D[ρ==0, {x,-4,4},{y,-4,4},{z,-4,4}]

Příklad 4 
Určete souřadnice průsečíků roviny ρ a souřadnicových os.

ρ=x+3y-2z+6;

osa={t,0,0}

rov=Solve[ρ==0 /.{x->osa[[1]],y->osa[[2]],z->osa[[3]]},t]

bodx=osa/.rov[[1]]

osa={0,t,0}

rov=Solve[ρ==0 /.{x->osa[[1]],y->osa[[2]],z->osa[[3]]},t]

body=osa/.rov[[1]]

osa={0,0,t}

rov=Solve[ρ==0 /.{x->osa[[1]],y->osa[[2]],z->osa[[3]]},t]

bodz=osa/.rov[[1]]

Show[ContourPlot3D[ρ==0,{x,-7,7},{y,-7,7},{z,-7,7}],Graphics3D[{PointSize[0.03],Point[{bodx,body,bodz}]}]]

Příklad 5 
Napište rovnici roviny σ, která obsahuje přímku p a je kolmá k rovině ρ.

ρ=2x-y+3z-6;p={1-t,2+3t,-t};

up={Coefficient[p[[1]],t],Coefficient[p[[2]],t],Coefficient[p[[3]],t]}

nρ={Coefficient[ρ,x],Coefficient[ρ,y],Coefficient[ρ,z]}

nσ=Cross[up,nρ]

bodprimky={Coefficient[p[[1]],t,0],Coefficient[p[[2]],t,0],Coefficient[p[[3]],t,0]}

σ=Dot[nσ,{x,y,z}]-Dot[nσ,bodprimky]

Show[ContourPlot3D[{ρ==0,σ==0},{x,-4,4},{y,-4,4},{z,-4,4}],ParametricPlot3D[p,{t,-5,5},PlotStyle->{Thick,Red}]]

Příklad 6 
Nalezněte průsečnici rovin ρ a σ.

ρ=-6+2 x-y+3 z

σ=-10+8 x+y-5 z

x=t;

rov=Solve[{ρ==0,σ==0},{y,z}]

prusecnice={x,y,z} /.rov[[1]]

Show[ContourPlot3D[{ρ==0,σ==0},{x,-4,4},{y,-4,4},{z,-4,4}],ParametricPlot3D[prusecnice,{t,-5,5},PlotStyle->{Thick,Red}]]

Příklad 7
Určete souřadnice paty kolmice vedené z bodu A na přímku p.

bA={5,-7,2};p={1-t,-4+t,7+3t};

nρ={Coefficient[p[[1]],t],Coefficient[p[[2]],t],Coefficient[p[[3]],t]}

ρ=Dot[nρ,{x,y,z}]-Dot[nρ,bA]

rov=Solve[ρ==0 /.{x->p[[1]],y->p[[2]],z->p[[3]]}]

pata=p/.rov[[1]]

Show[ContourPlot3D[ρ==0, {x,-14,14},{y,-14,14},{z,-14,14}],Graphics3D[{PointSize[0.03],Point[{bA,pata}]}],ParametricPlot3D[p,{t,-3,3}]]

Příklad 8 
Určete obraz bodu M v souměrnosti podle roviny ρ.

ρ=x-y-4z-13;bM={3,-4,-6};

nρ={Coefficient[ρ,x],Coefficient[ρ,y],Coefficient[ρ,z]}

primka=bM+t*nρ

rov=Solve[ρ==0 /.{x->primka[[1]],y->primka[[2]],z->primka[[3]]},t]

bod=primka/.rov[[1]]

obrazM=bod+bod-bM

Show[ContourPlot3D[ρ==0,{x,-14,14},{y,-14,14},{z,-14,14}],ParametricPlot3D[primka,{t,-5,5},PlotStyle->{Thick,Black}],Graphics3D[{PointSize[0.03],Point[{bM,bod,obrazM}]}]]

Příklad 9 
Určete obraz bodu M v osové souměrnosti podle přímky p.

bM={1,10,-8};

p={1-2t,3+t,-1+3t};

nρ={Coefficient[p[[1]],t],Coefficient[p[[2]],t],Coefficient[p[[3]],t]}

ρ=Dot[nρ,{x,y,z}]-Dot[nρ,bM]

rov=Solve[ρ==0 /.{x->p[[1]],y->p[[2]],z->p[[3]]}]

pata=p/.rov[[1]]

obrazM=pata+pata-bM

Show[ContourPlot3D[ρ==0, {x,-14,14},{y,-14,14},{z,-14,14}],Graphics3D[{PointSize[0.03],Point[{bM,pata,obrazM}]}],ParametricPlot3D[p,{t,-3,3},PlotStyle->{Thick,Red}]]

Příklad 10
Je dána funkce f:y=((x-1)/(x-2)).
1. Sestrojte graf
       2. Určete funkci inverzní k funkci f
       3. Vypočítejte obsah obrazce vymezeného grafem funkce f, osou x, přímkami x=3, x=4
       4. Vypočtěte objem tělesa vzniklého rotací obrazce z předchozí části úlohy kolem osy x

f[x_]:=((x-1)/(x-2))

gr1=Plot[{f[x],1,x},{x,-2,5},AspectRatio->Automatic,Exclusions->x==2,ExclusionsStyle->Dashed,AxesLabel->{x,y}]

rov=Solve[x==f[y],y]

g[x_]:=y /.rov[[1]]

g[x]

gr2=Plot[{g[x],2},{x,-2,5},PlotStyle->RGBColor[0,1,0],AspectRatio->Automatic,Exclusions->x==1,ExclusionsStyle->Dashed,AxesLabel->{x,y},PlotRange->{{-2,5},{-2,5}}]

Show[gr1,gr2]

gr1=Plot[{f[x],1,x},{x,-2,5},AspectRatio->Automatic,Exclusions->x==2,ExclusionsStyle->Dashed,AxesLabel->{x,y}]

gr3=Plot[f[x],{x,3,4},PlotRange->{{3,4},{0,3}},Filling->Axis,FillingStyle->Orange];

Show[gr1,gr3]

∫f[x]\[DifferentialD]x

(∫_3^4)f[x]\[DifferentialD]x

(∫_3^4)f[x]\[DifferentialD]x //N

ParametricPlot3D[{x,f[x]*Cos[t],f[x]*Sin[t]},{x,3,4},{t,0,2π}]

objem=π*(∫_3^4)((f[x])^2)\[DifferentialD]x

objem=π*(∫_3^4)((f[x])^2)\[DifferentialD]x //N

Děkuji za pozornost.